勾股定理
这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的Pythagorean Proposition一书中总共提到367种证明方式。
有人会尝试以三角恒等式（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。
赵爽勾股圆方图证明法
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中国三国时期赵爽为证明勾股定理作“勾股圆方图”即“弦图”，按其证明思路，其法可涵盖所有直角三角形，为东方特色勾股定理无字证明法。2002年第24届国际数学家大会（ICM）在北京召开。中国邮政发行一枚邮资明信片，邮资图就是这次大会的会标—中国古代证明勾股定理的赵爽弦图。
赵爽 勾股圆方图证明勾股定理法动画
刘徽“割补术”证明法
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中国魏晋时期数学家刘徽依据其“割补术”为证勾股定理另辟蹊径而作“青朱出入图”。刘徽描述此图，“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不动也，合成弦方之幂。开方除之，即弦也。[8]”其大意为，一个任意直角三角形，以勾宽作红色正方形即朱方，以股长作青色正方形即青方。将朱方、青方两个正方形对齐底边排列，再进行割补—以盈补虚，分割线内不动，线外则“各从其类”，以合成弦的正方形即弦方，弦方开方即为弦长。
刘徽 青朱出入图
利用相似三角形的证法
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相似三角形的证明
有许多勾股定理的证明方式，都是基于相似三角形中两边长的比例。
设
A
B
C
{\displaystyle ABC}
为一直角三角形，直角于
∠
C
{\displaystyle \angle C}
（看右图）。从点
C
{\displaystyle C}
画上三角形的高，并将此高与
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
的交叉点称之为
H
{\displaystyle H}
。此新
△
A
C
H
{\displaystyle \bigtriangleup ACH}
和原本的
△
A
B
C
{\displaystyle \bigtriangleup ABC}
相似，因为在两个三角形中都有一个直角（这又是由于“高”的定义），而两个三角形都有
A
{\displaystyle A}
这个共同角，由此可知第三只角都是相等的。同样道理，
△
C
B
H
{\displaystyle \bigtriangleup CBH}
和
△
A
B
C
{\displaystyle \bigtriangleup ABC}
也是相似的。这些相似关系衍生出以下的比率关系：
因为
B
C
¯
=
a
,
A
C
¯
=
b
,
and
A
B
¯
=
c
,
{\displaystyle {\overline {BC}}=a,{\overline {AC}}=b,{\text{ and }}{\overline {AB}}=c,\!}
所以
a
c
=
H
B
¯
a
and
b
c
=
A
H
¯
b
.
{\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {\overline {HB}}{a}}{\text{ and }}{\frac {b}{c}}={\frac {\overline {AH}}{b}}.\,}
可以写成
a
2
=
c
×
H
B
¯
and
b
2
=
c
×
A
H
¯
.
{\displaystyle a^{2}=c\times {\overline {HB}}{\text{ and }}b^{2}=c\times {\overline {AH}}.\,}
综合这两个方程式，我们得到
a
2
+
b
2
=
c
×
H
B
¯
+
c
×
A
H
¯
=
c
×
(
H
B
¯
+
A
H
¯
)
=
c
2
.
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c\times {\overline {HB}}+c\times {\overline {AH}}=c\times ({\overline {HB}}+{\overline {AH}})=c^{2}.\,\!}
换句话说:
a
2
+
b
2
=
c
2
.
{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.\,\!}
欧几里得的证法
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《几何原本》中的证明
在欧几里得的《几何原本》一书中给出勾股定理的以下证明。设
△
A
B
C
{\displaystyle \bigtriangleup ABC}
为一直角三角形，其中A为直角。从
A
{\displaystyle A}
点划一直线至对边，使其垂直于对边。延长此线把对边上的正方形一分为二，其面积分别与其余两个正方形相等。
在定理的证明中，我们需要如下四个辅助定理：
如果两个三角形有两组对应边和这两组边所夹的角相等，则两三角形全等。（SAS定理）
三角形面积是任一同底同高之平行四边形面积的一半。
任意一个正方形的面积等于其二边长的乘积。
任意一个矩形的面积等于其二边长的乘积（据辅助定理3）。
证明的思路为：把上方的两个正方形，透过等高同底的三角形，以其面积关系，变换成下方两个同等面积的长方形。
证明辅助图2
其证明如下：
设
△
A
B
C
{\displaystyle \triangle ABC}
为一直角三角形，其直角为
∠
C
A
B
{\displaystyle \angle CAB}
。
其边为
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {BC}}}
、
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
、和
C
A
¯
{\displaystyle {\overline {CA}}}
，依序绘成四方形
C
B
D
E
{\displaystyle CBDE}
、
B
A
G
F
{\displaystyle BAGF}
和
A
C
I
H
{\displaystyle ACIH}
。
画出过点
A
{\displaystyle A}
之
B
D
¯
{\displaystyle {\overline {BD}}}
、
C
E
¯
{\displaystyle {\overline {CE}}}
的平行线。此线将分别与
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {BC}}}
和
D
E
¯
{\displaystyle {\overline {DE}}}
直角相交于
K
{\displaystyle K}
、
L
{\displaystyle L}
。
分别连接
C
F
¯
{\displaystyle {\overline {CF}}}
、
A
D
¯
{\displaystyle {\overline {AD}}}
，形成两个三角形
B
C
F
{\displaystyle BCF}
、
B
D
A
{\displaystyle BDA}
。
∠
C
A
B
{\displaystyle \angle CAB}
和
∠
B
A
G
{\displaystyle \angle BAG}
都是直角，因此
C
{\displaystyle C}
、
A
{\displaystyle A}
和
G
{\displaystyle G}
都是共线的，同理可证
B
{\displaystyle B}
、
A
{\displaystyle A}
和
H
{\displaystyle H}
共线。
∠
C
B
D
{\displaystyle \angle CBD}
和
∠
F
B
A
{\displaystyle \angle FBA}
皆为直角，所以
∠
A
B
D
{\displaystyle \angle ABD}
相等于
∠
F
B
C
{\displaystyle \angle FBC}
。
因为
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}}
和
B
D
¯
{\displaystyle {\overline {BD}}}
分别等于
F
B
¯
{\displaystyle {\overline {FB}}}
和
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {BC}}}
，所以
△
A
B
D
{\displaystyle \triangle ABD}
必须全等于
△
F
B
C
{\displaystyle \triangle FBC}
。
因为
A
{\displaystyle A}
与
K
{\displaystyle K}
和
L
{\displaystyle L}
在同一直线上，所以四方形
B
D
L
K
{\displaystyle BDLK}
必须二倍面积于
△
A
B
D
{\displaystyle \triangle ABD}
。
因为
C
{\displaystyle C}
、
A
{\displaystyle A}
和
G
{\displaystyle G}
在同一直线上，所以正方形
B
A
G
F
{\displaystyle BAGF}
必须二倍面积于
△
F
B
C
{\displaystyle \triangle FBC}
。
因此四边形
B
D
L
K
{\displaystyle BDLK}
必须和
B
A
G
F
{\displaystyle BAGF}
有相同的面积=
A
B
¯
2
{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}}
。
同理可证，四边形
C
K
L
E
{\displaystyle CKLE}
必须有相同的面积
A
C
I
H
=
A
C
¯
2
{\displaystyle ACIH={\overline {AC}}^{2}}
。
把这两个结果相加，
A
B
¯
2
+
A
C
¯
2
=
B
D
¯
×
B
K
¯
+
K
L
¯
×
K
C
¯
{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BD}}\times {\overline {BK}}+{\overline {KL}}\times {\overline {KC}}}
由于
B
D
¯
=
K
L
¯
{\displaystyle {\overline {BD}}={\overline {KL}}}
，
B
D
¯
×
B
K
¯
+
K
L
¯
×
K
C
¯
=
B
D
¯
(
B
K
¯
+
K
C
¯
)
=
B
D
¯
×
B
C
¯
{\displaystyle {\overline {BD}}\times {\overline {BK}}+{\overline {KL}}\times {\overline {KC}}={\overline {BD}}\left({\overline {BK}}+{\overline {KC}}\right)={\overline {BD}}\times {\overline {BC}}}
由于
C
B
D
E
{\displaystyle CBDE}
是个正方形，因此
A
B
¯
2
+
A
C
¯
2
=
B
C
¯
2
{\displaystyle {\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BC}}^{2}}
。
此证明是于欧几里得《几何原本》一书第1.47节所提出的[9]
由于这个定理的证明依赖于平行公理，而且从这个定理可以推出平行公理，很多人质疑平行公理是这个定理的必要条件，一直到十九世纪尝试否定第五公理的非欧几何出现。
图形重新排列证法
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以面积减算法证明
此证明以图形重新排列证明。两个大正方形的面积皆为
(
a
+
b
)
2
{\displaystyle (a+b)^{2}}
。把四个相等的三角形移除后，左方余下面积为
a
2
+
b
2
{\displaystyle a^{2}+b^{2}}
，右方余下面积为
c
2
{\displaystyle c^{2}}
，两者相等。证毕。
以重新排列法证明
以动画方式来论证勾股定理